UAA 1 — Statistiques à deux variables

Fiche mémo — Points clés à retenir

Nuage de points : représentation des couples \((x_i, y_i)\)
Point moyen : \(G = (\bar{x}, \bar{y})\) — toute droite d'ajustement passe par \(G\)
Covariance : \(\text{cov}(X,Y) = \frac{1}{n}\sum x_i y_i - \bar{x}\,\bar{y}\)
Coefficient de corrélation : \(r = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\), \(r \in [-1,1]\)
\(|r| > 0{,}8\) : corrélation forte ; \(|r| < 0{,}5\) : corrélation faible
Droite de Mayer : passe par les points moyens des deux sous-nuages
Droite des moindres carrés : \(y = ax + b\) avec \(a = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X^2}\)
Causalité ≠ corrélation : une corrélation forte n'implique pas un lien de cause à effet

Nuage de points et point moyen

On dispose de \(n\) couples \((x_i, y_i)\). On les représente dans un repère orthogonal : c'est le nuage de points. Le point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\) est le centre de gravité du nuage. Toute droite d'ajustement raisonnable passe par \(G\).

\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad \bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i \]

Covariance et coefficient de corrélation

La covariance mesure la tendance commune de variation des deux variables. Le coefficient de corrélation linéaire \(r\) de Bravais-Pearson normalise cette mesure entre \(-1\) et \(1\). Si \(r > 0\) : relation croissante ; \(r < 0\) : décroissante ; \(r = 0\) : absence de corrélation linéaire.

\[ \text{cov}(X,Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x}\,\bar{y} \]

\[ \sigma_X^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2 \qquad \sigma_Y^2 = \frac{1}{n}\sum y_i^2 - \bar{y}^2 \]

\[ r = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \]

Droite de Mayer

On partage le nuage en deux sous-nuages de tailles égales selon les valeurs croissantes de \(x\). On calcule le point moyen \(G_1\) du premier sous-nuage et \(G_2\) du second. La droite de Mayer est la droite passant par \(G_1\) et \(G_2\). Elle est simple à construire mais sensible au découpage.

\[ \text{Pente} = \frac{\bar{y}_2 - \bar{y}_1}{\bar{x}_2 - \bar{x}_1} \]

Droite des moindres carrés

La droite des moindres carrés (régression de \(Y\) en \(X\)) minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. C'est la méthode de référence en statistique.

\[ y = ax + b \quad \text{avec} \quad a = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X^2}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x} \]

Causalité et corrélation

Une corrélation forte (\(|r|\) proche de 1) indique une relation linéaire entre les variables, mais n'implique pas un lien de cause à effet. Exemple classique : la corrélation entre ventes de glaces et noyades est due à une troisième variable (la chaleur). Il faut toujours exercer son esprit critique face à une corrélation.

Exercices résolus

Ex. 1

Calcul du coefficient de corrélation

On observe les données suivantes pour 5 élèves (heures de travail \(x\) et note \(y\) sur 20) :\n\n| Élève | \(x\) | \(y\) |\n|---|---|---|\n| A | 2 | 8 |\n| B | 4 | 11 |\n| C | 5 | 13 |\n| D | 7 | 16 |\n| E | 7 | 17 |\n\nCalculer \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), \(\text{cov}(X,Y)\), \(\sigma_X\), \(\sigma_Y\) et \(r\).

Ex. 2

Droite des moindres carrés

En reprenant les données de l'exercice précédent (\(\bar{x}=5\), \(\bar{y}=13\), \(\text{cov}=6{,}2\), \(\sigma_X^2=3{,}6\)), déterminer l'équation de la droite des moindres carrés, puis estimer la note d'un élève qui travaillerait 6 heures.