UAA 4 — Dérivée

Fiche mémo — Points clés à retenir

Nombre dérivé : \(f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
Pente de la tangente en \(a\) : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)
\((x^n)' = nx^{n-1}\), \((e^x)' = e^x\), \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
\((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\)
\((u+v)' = u'+v'\), \((uv)' = u'v+uv'\), \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\)
Dérivée composée : \((f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
\(f' > 0\) → \(f\) croissante ; \(f' < 0\) → \(f\) décroissante
\(f'' > 0\) → convexe ; \(f'' < 0\) → concave ; \(f''(a)=0\) avec changement → inflexion

Taux d'accroissement et nombre dérivé

Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) représente la pente de la sécante. Le nombre dérivé \(f'(a)\) est la limite de ce taux quand \(h \to 0\) : c'est la pente de la tangente à la courbe en \(a\). Géométriquement, la tangente est la droite limite des sécantes.

\[ \tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \quad \text{(taux d'accroissement)} \]

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

Équation de la tangente

La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est la droite passant par \((a, f(a))\) de pente \(f'(a)\).

\[ T : y = f'(a)(x - a) + f(a) \]

Dérivées usuelles et règles de calcul

On mémorise les dérivées des fonctions de base et on les combine grâce aux règles algébriques. La règle de la chaîne (dérivée composée) est la plus utilisée au CESS.

\[ (c)' = 0 \quad (x)' = 1 \quad (x^n)' = nx^{n-1} \]

\[ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad (e^x)' = e^x \quad (\ln x)' = \frac{1}{x} \]

\[ (\sin x)' = \cos x \quad (\cos x)' = -\sin x \]

\[ (u \cdot v)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

\[ \bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Étude des variations

Le signe de \(f'\) détermine le sens de variation de \(f\). Un extremum local se trouve aux points où \(f'\) s'annule en changeant de signe. Attention : \(f'(a) = 0\) ne garantit pas un extremum (ex. : \(f(x) = x^3\) en \(0\)).

\[ f'(x) > 0 \Rightarrow f \text{ croissante sur l'intervalle} \]

\[ f'(x) < 0 \Rightarrow f \text{ décroissante sur l'intervalle} \]

\[ f'(a) = 0 \text{ et } f' \text{ change de signe} \Rightarrow \text{extremum en } a \]

Dérivée seconde — concavité et inflexion

La dérivée seconde \(f'' = (f')'\) renseigne sur la concavité de la courbe. Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité : \(f''\) s'annule et change de signe.

\[ f''(x) > 0 \Rightarrow f \text{ convexe (tournée vers le haut)} \]

\[ f''(x) < 0 \Rightarrow f \text{ concave (tournée vers le bas)} \]

\[ f''(a)=0 \text{ et changement de signe} \Rightarrow \text{point d'inflexion en }a \]

Optimisation

Résoudre un problème d'optimisation : exprimer la quantité à optimiser en fonction d'une seule variable, dériver, trouver les zéros, dresser le tableau de variations et conclure.

\[ \text{Maximum ou minimum} \Leftrightarrow f'(x) = 0 \text{ (conditions nécessaire)} \]

Exercices résolus

Ex. 1

Dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée de \(f(x) = e^{3x^2 - 1}\) et de \(g(x) = \ln(\sin x)\) (sur un intervalle où \(\sin x > 0\)).

Ex. 2

Optimisation — clôture rectangulaire

Un agriculteur dispose de 120 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur (côté du mur = longueur, pas de clôture côté mur). Quelles dimensions maximisent l'aire ?

Ex. 3

Étude complète d'une fonction

Étudier les variations de \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) : domaine, dérivée, tableau de signes, extremums, concavité.