UAA 7 — Lois de probabilités

Fiche mémo — Points clés à retenir

Variable aléatoire : \(X : \Omega \to \mathbb{R}\)
Espérance : \(E(X) = \sum x_i P(X=x_i)\) (discret)
Variance : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) ; écart-type \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)
Loi binomiale \(B(n,p)\) : \(n\) épreuves indépendantes, proba de succès \(p\)
\(P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\), \(E(X)=np\), \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)
Loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) : courbe en cloche, symétrique en \(\mu\)
Standardisation : \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)\)
Règle des 68-95-99,7 % : \(P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 68\%\)

Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète \(X\) prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Sa loi est décrite par le tableau des probabilités \(P(X = x_i)\). L'espérance est le « centre de gravité » de la distribution, la variance mesure sa dispersion.

\[ \sum_i P(X = x_i) = 1 \]

\[ E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i) \]

\[ V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_i x_i^2 P(X=x_i) - \mu^2 \]

\[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \]

Loi binomiale B(n, p)

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, chacune de probabilité de succès \(p\). Conditions d'application : épreuves indépendantes, même \(p\), nombre \(n\) fixé.

\[ X \sim B(n,p) \Rightarrow P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

\[ E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

\[ P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1) = 1 - \sum_{i=0}^{k-1} P(X=i) \]

Loi normale N(μ, σ²)

La loi normale (gaussienne) est une loi continue. Sa densité est la courbe en cloche symétrique par rapport à \(\mu\). L'aire sous la courbe entre deux valeurs donne la probabilité correspondante. On se ramène à la loi normale centrée réduite \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\) par standardisation.

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \]

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1) \]

\[ P(a \leq X \leq b) = P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{b-\mu}{\sigma}\right) \]

\[ P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 68{,}3\% \]

\[ P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\% \]

Approximation de la binomiale par la normale

Quand \(n\) est grand et \(p\) ni trop proche de 0 ni de 1, la loi \(B(n,p)\) est bien approximée par \(\mathcal{N}(np,\, np(1-p))\). Règle pratique : \(np > 5\) et \(n(1-p) > 5\).

\[ B(n,p) \approx \mathcal{N}(np,\, np(1-p)) \quad \text{si } np > 5 \text{ et } n(1-p) > 5 \]

\[ \text{Correction de continuité : } P(X = k) \approx P\!\left(k-\tfrac{1}{2} \leq Y \leq k+\tfrac{1}{2}\right) \]

Exercices résolus

Ex. 1

Loi binomiale — contrôle qualité

Une machine produit des pièces dont 4 % sont défectueuses. On prélève un échantillon de 20 pièces. Soit \(X\) le nombre de pièces défectueuses. Calculer \(P(X=0)\), \(P(X \leq 2)\) et \(E(X)\).

Ex. 2

Loi normale — taille de la population

La taille des adultes belges suit une loi normale de moyenne \(\mu = 175\) cm et d'écart-type \(\sigma = 8\) cm. Calculer \(P(X > 185)\) et \(P(160 \leq X \leq 190)\).