UAA 8 — Intégrales

Fiche mémo — Points clés à retenir

Primitive \(F\) de \(f\) : \(F'(x) = f(x)\) — définie à une constante \(C\) près
\(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (\(n\neq -1\)), \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C\)
\(\int e^x\,dx = e^x+C\), \(\int\cos x\,dx = \sin x+C\), \(\int\sin x\,dx = -\cos x+C\)
Théorème fondamental : \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\) (crochet \([F(x)]_a^b\))
Linéarité : \(\int_a^b (\alpha f+\beta g) = \alpha\int f + \beta\int g\)
Relation de Chasles : \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)
Aire entre courbes : \(\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\)
Intégration par parties : \(\int u\,dv = [uv]_a^b - \int v\,du\)

Primitives — définition et table

Une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) est toute fonction \(F\) telle que \(F' = f\). Deux primitives d'une même fonction ne diffèrent que d'une constante. Connaître la table des primitives usuelles est indispensable.

\[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]

\[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \]

\[ \int e^x\,dx = e^x + C \qquad \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C \]

\[ \int \cos x\,dx = \sin x + C \qquad \int \sin x\,dx = -\cos x + C \]

\[ \int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C \qquad \int u' e^u\,dx = e^u + C \]

Intégrale définie et théorème fondamental

L'intégrale définie \(\int_a^b f(x)\,dx\) mesure l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des \(x\). Elle est positive si \(f > 0\), négative si \(f < 0\). Le théorème fondamental de l'analyse établit le lien entre primitives et intégrales.

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a) \]

\[ \int_a^a f(x)\,dx = 0 \qquad \int_a^b f = -\int_b^a f \]

\[ \int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f \quad \text{(Chasles)} \]

Calcul d'aires

L'aire d'une surface délimitée par la courbe de \(f\), l'axe des \(x\) et les droites \(x = a\) et \(x = b\) est l'intégrale de la valeur absolue. Si \(f\) change de signe, on découpe en sous-intervalles.

\[ \mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx \]

\[ \text{Entre deux courbes : } \mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx \]

Intégration par parties

Technique pour les intégrales d'un produit. On choisit \(u\) et \(v'\) (\(u\) doit se simplifier par dérivation, \(v'\) doit avoir une primitive simple). Priorité : LIATE (Logarithme, Inverse, Algébrique, Trig, Exponentielle) → choisir \(u\) selon cet ordre.

\[ \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx \]

Exercices résolus

Ex. 1

Calcul d'une intégrale définie

Calculer \(\displaystyle I = \int_1^3 \left(2x^2 - \frac{3}{x} + e^x\right)dx\).

Ex. 2

Aire entre deux courbes

Calculer l'aire du domaine délimité par les paraboles \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x - x^2 + 2\) (trouver d'abord les intersections).

Ex. 3

Intégration par parties

Calculer \(\displaystyle \int_0^1 x\,e^x\,dx\).