UAA 5 — Fonctions trigonométriques

Fiche mémo — Points clés à retenir

Cercle trigo : \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\)
Périodes : \(T_{\sin} = T_{\cos} = 2\pi\) ; \(T_{\tan} = \pi\)
Parité : \(\cos\) est paire, \(\sin\) et \(\tan\) sont impaires
Valeurs remarquables : \(\sin(0)=0\), \(\sin(\pi/6)=1/2\), \(\sin(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(\pi/3)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(\pi/2)=1\)
Forme générale : \(f(x) = a\sin(bx+c)+d\) — amplitude \(|a|\), période \(\frac{2\pi}{b}\), déphasage \(-c/b\)
Équation \(\sin(x)=k\) : \(x = \arcsin(k) + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \arcsin(k) + 2k\pi\)
Formules d'addition : \(\cos(a\pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\)

Cercle trigonométrique et nombres trigonométriques

Pour un angle orienté \(\theta\) (en radians), le point \(M\) du cercle unité a pour coordonnées \((\cos\theta, \sin\theta)\). On en déduit \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) (si \(\cos\theta \neq 0\)). La conversion degrés/radians : \(180° = \pi\) rad.

\[ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \]

\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0) \]

\[ x^\circ = x \cdot \frac{\pi}{180} \text{ rad} \]

Valeurs remarquables

Ces valeurs sont à connaître par cœur pour le CESS. Elles se retrouvent à partir du cercle unité et des triangles 30-60-90 et 45-45-90.

\[ \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\ \hline \cos\theta & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \sin\theta & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{array} \]

Analyse des fonctions trigonométriques

La forme générale \(f(x) = a\sin(bx+c)+d\) permet de modéliser tout phénomène périodique. Chaque paramètre a une signification physique précise : amplitude (intensité max), période (durée d'un cycle), déphasage (décalage temporel), valeur moyenne (ligne de base).

\[ f(x) = a\sin(bx + c) + d \]

\[ \text{Amplitude} = |a| \]

\[ \text{Période} = T = \frac{2\pi}{|b|} \]

\[ \text{Déphasage} = -\frac{c}{b} \]

\[ \text{Valeur moyenne} = d \]

Résolution d'équations trigonométriques

Résoudre \(\sin(x) = k\) ou \(\cos(x) = k\) dans \(\mathbb{R}\) : on trouve une solution principale, puis on utilise la périodicité et la symétrie du cercle pour écrire toutes les solutions.

\[ \sin x = k \Rightarrow x = \arcsin(k) + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin(k) + 2k\pi \]

\[ \cos x = k \Rightarrow x = \pm\arccos(k) + 2k\pi \]

\[ \tan x = k \Rightarrow x = \arctan(k) + k\pi \]

Formules d'addition et duplication

Ces formules permettent de simplifier des expressions ou de résoudre des équations plus complexes.

\[ \cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b \]

\[ \sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b \]

\[ \cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a \]

\[ \sin(2a) = 2\sin a\cos a \]

Exercices résolus

Ex. 1

Modélisation d'une marée

La hauteur d'eau \(h(t)\) (en mètres) à l'entrée d'un port varie de manière sinusoïdale. La marée haute est de 8 m et la marée basse de 2 m. La période est de 12 h. À \(t = 0\), on est à marée haute. Écrire \(h(t)\) sous la forme \(a\cos(bt) + d\).

Ex. 2

Équation trigonométrique

Résoudre dans \([0, 2\pi]\) l'équation \(2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\).