UAA 6 — Probabilités et analyse combinatoire

Fiche mémo — Points clés à retenir

Arrangement : \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\) (ordre important, sans répétition)
Combinaison : \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) (ordre indifférent)
\(P(A) \in [0,1]\), \(P(\Omega) = 1\), \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Probabilité conditionnelle : \(P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Indépendance : \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\)
Formule des prob. totales : \(P(A) = \sum_i P(A|B_i)P(B_i)\)
Bayes : \(P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}\)

Analyse combinatoire

Dénombrer des configurations est la base du calcul de probabilités dans les espaces finis équiprobables. On distingue les situations avec ou sans ordre, avec ou sans répétition.

\[ n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1 \quad (0! = 1) \]

\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \quad \text{(arrangements de } k \text{ éléments parmi } n \text{)} \]

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \quad \text{(combinaisons)} \]

\[ \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \qquad \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \]

Espace de probabilité

Un espace de probabilité est composé d'un univers \(\Omega\) (ensemble des issues), d'une tribu d'événements et d'une mesure de probabilité \(P\). Dans un espace équiprobable : \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\).

\[ P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \quad \text{(équiprobabilité)} \]

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \]

Probabilité conditionnelle et indépendance

La probabilité conditionnelle \(P(A|B)\) est la probabilité de \(A\) sachant que \(B\) est réalisé. Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre.

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0) \]

\[ P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A) \]

\[ \text{Indépendance} \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Formule des probabilités totales et théorème de Bayes

Si \((B_1, B_2, \ldots, B_n)\) est une partition de \(\Omega\), on peut calculer \(P(A)\) en passant par chaque branche. Le théorème de Bayes permet ensuite de « remonter » la causalité : calculer \(P(B_i|A)\) à partir de \(P(A|B_i)\).

\[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i) \]

\[ P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)\cdot P(B_i)}{\sum_j P(A|B_j)\cdot P(B_j)} \]

Exercices résolus

Ex. 1

Dénombrement — tirage de cartes

Dans un jeu de 52 cartes, on tire 5 cartes simultanément. Combien de mains contiennent exactement 3 as ?

Ex. 2

Test médical et théorème de Bayes

Une maladie touche 1 % de la population. Un test a une sensibilité de 95 % (vrai positif) et une spécificité de 90 % (vrai négatif). Un patient obtient un résultat positif. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement malade ?