UAA 2 — Suites numériques

Fiche mémo — Points clés à retenir

Suite arithmétique : \(u_{n+1} = u_n + r\), terme général \(u_n = u_0 + nr\)
Suite géométrique : \(u_{n+1} = u_n \cdot q\), terme général \(u_n = u_0 \cdot q^n\)
Somme arithmétique : \(S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}\) (\(n\) termes)
Somme géométrique : \(S_n = u_0\,\frac{1-q^n}{1-q}\) si \(q \neq 1\)
Convergence géométrique : \(\lim u_n = 0\) si \(|q| < 1\) ; diverge si \(|q| > 1\)
Suite convergente vers \(l\) : \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ n > N \Rightarrow |u_n - l| < \varepsilon\)
Intérêts composés : \(C_n = C_0(1+t)^n\) — modèle géométrique de raison \(1+t\)

Définitions et modes de définition

Une suite peut être définie par son terme général \(u_n = f(n)\) ou par récurrence \(u_{n+1} = g(u_n)\). On note \((u_n)_{n \geq 0}\) ou \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).

\[ u_n = f(n) \quad \text{(terme général)} \]

\[ u_{n+1} = g(u_n),\ u_0 = a \quad \text{(récurrence)} \]

Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique de raison \(r\) si chaque terme s'obtient en ajoutant \(r\) au précédent. La représentation graphique est une droite de pente \(r\). La somme des \(n\) premiers termes s'obtient par la formule dite « somme des termes d'une progression arithmétique ».

\[ u_n = u_0 + n \cdot r \]

\[ S = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} \]

\[ S = \frac{\text{(nombre de termes)} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2} \]

Suites géométriques

Une suite est géométrique de raison \(q\) (\(q \neq 0\)) si chaque terme est le produit du précédent par \(q\). La représentation en échelle logarithmique est linéaire. La somme des \(n\) premiers termes est donnée par la formule ci-dessous.

\[ u_n = u_0 \cdot q^n \]

\[ S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \]

\[ S_\infty = \frac{u_0}{1-q} \quad \text{si } |q| < 1 \text{ (série géométrique convergente)} \]

Convergence d'une suite

Une suite converge vers \(l\) si ses termes s'approchent indéfiniment de \(l\). Pour une suite géométrique : elle converge vers \(0\) si \(|q| < 1\), vers \(1\) si \(q = 1\), diverge si \(|q| > 1\) ou si \(q = -1\) (oscillation).

\[ \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \iff |q| < 1 \]

\[ \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \iff q > 1 \]

Application financière — intérêts composés

Un capital \(C_0\) placé à un taux annuel \(t\) avec intérêts composés (capitalisés chaque année) donne après \(n\) années un capital \(C_n\). C'est une suite géométrique de raison \(1+t\). Les annuités (versements réguliers) donnent une somme géométrique.

\[ C_n = C_0 (1 + t)^n \]

\[ \text{Valeur acquise par } n \text{ annuités } a : \quad V = a \cdot \frac{(1+t)^n - 1}{t} \]

Exercices résolus

Ex. 1

Suite arithmétique — somme

Une suite arithmétique a pour premier terme \(u_1 = 3\) et de raison \(r = 5\). Calculer \(u_{20}\) et la somme \(S = u_1 + u_2 + \cdots + u_{20}\).

Ex. 2

Intérêts composés

Un capital de 5 000 € est placé à 3 % par an avec intérêts composés. Après combien d'années ce capital dépassera-t-il 7 000 € ?

Ex. 3

Série géométrique convergente

Calculer la somme \(S = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n\) et interpréter géométriquement.