La géométrie analytique de l'espace traduit les figures géométriques tridimensionnelles en équations algébriques. Elle repose sur les vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) et permet de résoudre des problèmes de position relative, de distance et d'angle.
Coplanarité de 3 vecteurs : \(\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = 0\)
Vecteurs dans l'espace
Un vecteur de \(\mathbb{R}^3\) est caractérisé par trois composantes. Les opérations (addition, multiplication scalaire) se font composante par composante. Le produit scalaire et le produit vectoriel sont les outils fondamentaux.
Une droite de \(\mathbb{R}^3\) est déterminée par un point \(A\) et un vecteur directeur \(\vec{d}\). Elle peut s'exprimer sous forme paramétrique (la plus commode) ou cartésienne (intersections de deux plans).
\[ \text{Forme paramétrique : } \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \]
Un plan est déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par un point et son vecteur normal. L'équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\) est la plus utile pour les calculs de distance.
\[ \text{Plan passant par } A(x_0,y_0,z_0) \text{ de normale } \vec{n}=(a,b,c) : \]
\[ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 \]
\[ \Leftrightarrow ax + by + cz + d = 0 \text{ avec } d = -(ax_0+by_0+cz_0) \]
Positions relatives et distance
Deux droites peuvent être sécantes, parallèles, confondues ou gauches (non coplanaires). Pour calculer la distance d'un point à un plan, on utilise la formule projetant le point sur le plan.
\[ \text{Droites gauches : ni sécantes, ni parallèles} \]
Coplanarité et déterminant
Trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si leur déterminant (produit mixte) est nul. Quatre points sont coplanaires si et seulement si trois des vecteurs qu'ils définissent sont coplanaires.