Asymptotes et limites

Corrigé détaillé

1. Asymptote verticale : \(f\) n'est pas définie en \(x = -2\).
2. \(\lim_{x \to -2^+} \frac{3}{x+2} = +\infty\) et \(\lim_{x \to -2^-} \frac{3}{x+2} = -\infty\) → A.V. : \(x = -2\)
3. Asymptote horizontale : \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3}{x+2} = 0\) → A.H. : \(y = 0\)
4. La courbe est une hyperbole centrée en \((-2, 0)\).

Corrigé détaillé

1. Asymptote verticale : dénominateur nul en \(x = -3\).
2. \(\lim_{x \to -3} \frac{2x-1}{x+3} = \pm\infty\) → A.V. : \(x = -3\)
3. Asymptote horizontale : on divise numérateur et dénominateur par \(x\) :
4. \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{3}{x}} = \frac{2}{1} = 2\) → A.H. : \(y = 2\)
5. Vérification : \(f(x) = \frac{2x-1}{x+3} = 2 - \frac{7}{x+3}\), ce qui confirme que \(f(x) \to 2\) quand \(x \to \pm\infty\).

Corrigé détaillé

1. Factorisation : \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\). Le dénominateur s'annule en \(x = 2\) et \(x = -2\).
2. A.V. en \(x = 2\) : \(\lim_{x \to 2^+} \frac{x}{(x-2)(x+2)} = +\infty\) (numérateur \(\to 2 > 0\), facteur \((x-2) \to 0^+\), facteur \((x+2) \to 4 > 0\))
3. A.V. en \(x = -2\) : \(\lim_{x \to -2^+} \frac{x}{(x-2)(x+2)} = +\infty\) (numérateur \(\to -2 < 0\), facteur \((x-2) \to -4 < 0\), facteur \((x+2) \to 0^+\))
4. A.H. : \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x}{1 - 4/x^2} = 0\) → A.H. : \(y = 0\)
5. Bilan : deux asymptotes verticales (\(x = \pm 2\)) et une asymptote horizontale (\(y = 0\)).

Corrigé détaillé

1. Remarque : \(x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)\), donc \(g(x) = x + 2\) pour \(x \neq 1\).
2. La fonction se simplifie : c'est la droite \(y = x + 2\) avec un trou (point exclu) en \(x = 1\).
3. Il n'y a pas d'asymptote verticale (la discontinuité est évitable).
4. Il n'y a pas d'asymptote oblique au sens strict non plus : la courbe est la droite \(y = x+2\) (sauf en \(x=1\)).
5. Morale : avant de conclure à une asymptote verticale, toujours vérifier si la singularité est évitable par simplification.

Corrigé détaillé

1. Asymptote verticale : dénominateur nul en \(x = 2\), pas de simplification possible (\(2^2 - 6 + 5 = 3 \neq 0\)).
2. \(\lim_{x \to 2} h(x) = \pm\infty\) → A.V. : \(x = 2\)
3. Recherche d'une asymptote oblique : calculer \(a = \lim_{x\to\infty}\frac{h(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+5}{x(x-2)} = \lim_{x\to\infty}\frac{1-3/x+5/x^2}{1-2/x} = 1\)
4. Division euclidienne de \(x^2 - 3x + 5\) par \(x - 2\) :
5. \(x^2 - 3x + 5 = (x-2)(x-1) + 3\), donc \(h(x) = x - 1 + \dfrac{3}{x-2}\)
6. \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x-2} = 0\) → A.O. : \(y = x - 1\)
7. Vérification du côté d'approche : pour \(x > 2\), \(\frac{3}{x-2} > 0\) donc la courbe est au-dessus de l'asymptote oblique.

Corrigé détaillé

1. Division euclidienne : \(2x^2 - x + 3 = (x+1)(2x - 3) + 6\)
2. Donc \(f(x) = 2x - 3 + \dfrac{6}{x+1}\) → A.O. : \(y = 2x - 3\), A.V. : \(x = -1\)
3. Position relative : \(f(x) - (2x-3) = \dfrac{6}{x+1}\)
4. Si \(x > -1\) : \(\frac{6}{x+1} > 0\) → la courbe est au-dessus de l'asymptote.
5. Si \(x < -1\) : \(\frac{6}{x+1} < 0\) → la courbe est en-dessous de l'asymptote.
6. Conclusion : la courbe coupe l'asymptote oblique en... jamais (elle ne la traverse pas, elle s'en approche de part et d'autre).

Corrigé détaillé

1. Domaine : \(x \neq \pm 1\). Factorisation : \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\).
2. A.V. en \(x = 1\) : numérateur \(\to 1 \neq 0\) → \(\lim_{x\to 1^+}f(x) = +\infty\), \(\lim_{x\to 1^-}f(x) = -\infty\).
3. A.V. en \(x = -1\) : numérateur \(\to -1 \neq 0\) → \(\lim_{x\to -1^+}f(x) = +\infty\), \(\lim_{x\to -1^-}f(x) = -\infty\).
4. Recherche d'asymptote oblique : division de \(x^3\) par \(x^2-1\) :
5. \(x^3 = (x^2-1)\cdot x + x\), donc \(f(x) = x + \dfrac{x}{x^2-1}\)
6. \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2-1} = 0\) → A.O. : \(y = x\)
7. Position par rapport à \(y = x\) : \(f(x) - x = \frac{x}{x^2-1}\).
8. Pour \(x > 1\) : numérateur \(> 0\), dénominateur \(> 0\) → courbe au-dessus.
9. Pour \(0 < x < 1\) : numérateur \(> 0\), dénominateur \(< 0\) → courbe en-dessous.
10. Parité : \(f(-x) = -f(x)\) → \(f\) est impaire, la courbe est symétrique par rapport à l'origine.